À quel point les ordinateurs sont-ils près à automatiser le raisonnement mathématique ?

Dans les années 1970, le regretté mathématicien Paul Cohen, la seule personne à avoir jamais remporté une médaille Fields pour ses travaux en logique mathématique, aurait fait une prédiction radicale qui continue d’exciter et d’irriter les mathématiciens –  « à un moment futur non spécifié, les mathématiciens seraient remplacés par des ordinateurs ». Cohen, légendaire pour ses méthodes audacieuses en théorie des ensembles, a prédit que toutes les mathématiques pourraient être automatisées, y compris la rédaction des preuves. tout savoir sur calc

 

Une preuve est un argument logique étape par étape qui vérifie la vérité d’une conjecture, ou d’une proposition mathématique. (Une fois qu’elle est prouvée, une conjecture devient un théorème.) Elle établit à la fois la validité d’une affirmation et explique pourquoi elle est vraie. Une preuve est étrange, cependant. Elle est abstraite et non liée à l’expérience matérielle. « Elles représentent ce contact fou entre un monde imaginaire et non physique et des créatures biologiquement évoluées », a déclaré le spécialiste des sciences cognitives Simon DeDeo, de l’université Carnegie Mellon, qui étudie la certitude mathématique en analysant la structure des preuves. « Nous n’avons pas évolué pour faire cela. »

Les ordinateurs sont utiles pour les gros calculs, mais les preuves nécessitent quelque chose de différent. Les conjectures découlent d’un raisonnement inductif – une sorte d’intuition sur un problème intéressant – et les preuves suivent généralement une logique déductive, étape par étape. Elles nécessitent souvent une pensée créative compliquée ainsi que le travail plus laborieux de combler les lacunes, et les machines ne peuvent pas réaliser cette combinaison.

 

Les démonstrateurs de théorèmes informatisés peuvent être divisés en deux catégories. Les prouveurs de théorèmes automatisés, ou ATP, utilisent généralement des méthodes de force brute pour croquer les gros calculs. Les prouveurs de théorèmes interactifs, ou ITP, agissent comme des assistants de preuve qui peuvent vérifier l’exactitude d’un argument et contrôler les erreurs dans les preuves existantes. Mais ces deux stratégies, même lorsqu’elles sont combinées (comme c’est le cas avec les nouveaux démonstrateurs de théorèmes), ne constituent pas un raisonnement automatisé.

 

Plus, ces outils n’ont pas été accueillis à bras ouverts, et la majorité des mathématiciens ne les utilisent pas ou ne les accueillent pas favorablement. « Ils sont très controversés pour les mathématiciens », a déclaré DeDeo. « La plupart d’entre eux n’aiment pas l’idée. »

Un formidable défi ouvert dans le domaine demande dans quelle mesure la fabrication de preuves peut réellement être automatisée : Un système peut-il générer une conjecture intéressante et la prouver d’une manière que les gens comprennent ? Une série d’avancées récentes de laboratoires du monde entier suggère des moyens par lesquels les outils d’intelligence artificielle peuvent répondre à cette question. Josef Urban, de l’Institut tchèque d’informatique, de robotique et de cybernétique de Prague, explore diverses approches qui utilisent l’apprentissage automatique pour améliorer l’efficacité et les performances des prouveurs existants. En juillet, son groupe a présenté un ensemble de conjectures et de preuves originales générées et vérifiées par des machines. Et en juin, un groupe de Google Research dirigé par Christian Szegedy a publié les résultats récents des efforts visant à exploiter les forces du traitement du langage naturel pour rendre les preuves informatiques plus humaines dans leur structure et leur explication.

 

Machines utiles

Les mathématiciens, les logiciens et les philosophes se sont longtemps disputés pour savoir quelle partie de la création de preuves est fondamentalement humaine, et les débats sur les mathématiques mécanisées se poursuivent aujourd’hui, notamment dans les vallées profondes qui relient l’informatique et les mathématiques pures.

Pour les informaticiens, les démonstrateurs de théorèmes ne sont pas controversés. Ils offrent un moyen rigoureux de vérifier qu’un programme fonctionne, et les arguments sur l’intuition et la créativité sont moins importants que de trouver un moyen efficace de résoudre un problème. Au Massachusetts Institute of Technology, par exemple, l’informaticien Adam Chlipala a conçu des outils de démonstration de théorèmes qui génèrent des algorithmes cryptographiques – traditionnellement écrits par des humains – pour protéger les transactions sur Internet. Déjà, le code de son groupe est utilisé pour la majorité des communications du navigateur Chrome de Google.

« Vous pouvez prendre n’importe quel type d’argument mathématique et le coder avec un seul outil, et connecter vos arguments ensemble pour créer des preuves de sécurité », a déclaré Chlipala.

En mathématiques, les démonstrateurs de théorèmes ont aidé à produire des preuves compliquées, lourdes en calculs, qui auraient autrement occupé des centaines d’années de la vie des mathématiciens. La conjecture de Kepler, qui décrit la meilleure façon d’empiler des sphères (ou, historiquement, des oranges ou des boulets de canon), offre un exemple éloquent. En 1998, Thomas Hales, avec son étudiant Sam Ferguson, en a fait la preuve en utilisant diverses techniques mathématiques informatisées. Le résultat était si lourd – les résultats occupaient 3 gigaoctets – que 12 mathématiciens l’ont analysé pendant des années avant d’annoncer qu’ils étaient sûrs à 99 % qu’il était correct.

 

Sentiments compliqués

Ces exemples sont souvent claironnés comme des succès, mais ils ont aussi ajouté au débat. Le code informatique prouvant le théorème des quatre couleurs, qui a été réglé il y a plus de 40 ans, était impossible à vérifier par les humains eux-mêmes. « Les mathématiciens se disputent depuis lors pour savoir s’il s’agit ou non d’une preuve », a déclaré le mathématicien Michael Harris de l’université Columbia.

 

Parler aux ordinateurs

Mais avant que les ordinateurs puissent universellement vérifier ou même concevoir des preuves, les chercheurs doivent d’abord franchir un obstacle important : la barrière de communication entre le langage des humains et celui des ordinateurs.

Les démonstrateurs de théorèmes d’aujourd’hui n’ont pas été conçus pour être conviviaux pour les mathématiciens. Les ATP, le premier type, sont généralement utilisés pour vérifier si une déclaration est correcte, souvent en testant les cas possibles. Demandez à un ATP de vérifier qu’une personne peut conduire de Miami à Seattle, par exemple, et il pourrait rechercher toutes les villes reliées par des routes partant de Miami et trouver finalement une ville avec une route menant à Seattle.

Tous les mathématiciens ne détestent pas les démonstrateurs de théorèmes. Timothy Gowers, de l’Université de Cambridge, pense qu’ils pourraient un jour remplacer les réviseurs humains dans les revues de mathématiques.

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